Подробный обзор экспериментальных работ Ньютона, Дюбуа, Д'Аламбера, Боссю, Кондорсе, Борда, Кулона, Фруда, Бофуа и других по определению законов сопротивления жидкостей.

В первой главе книги приводится исторический обзор экспериментов Кулона, Хагена, Пуазейля и других исследователей, результаты которых подтвердили справедливость закона вязкого трения Ньютона.

Исторический обзор развития гидродинамики со времен Аристотеля до начала XX века. Большое внимание уделено экспериментальным работам по сопротивлению тел в потоке (Ньютон, Д'Аламбер, Боссю, Кондорсе, Дюбуа, Борда, Дюшемен и др.) и развитию представлений о подъемной силе крыла (работы Ланчестера, Филипса, Лилиенталя, Кутты, Жуковского и др.).

Исторический обзор различных вариантов условий на границе вязкой жидкости и твердого тела.

Подробный обзор ранних классических работ Д'Аламбера, Эйлера, семьи Бернулли и др. по механике жидкости.

Во введении к этому классическому учебнику проводится краткий разбор содержания работ Коши, Навье, Пуассона, Сен-Венана и Стокса, посвященных выводу уравнений вязкой жидкости.

Популярный очерк истории гидромеханики несжимаемой жидкости с древнейших времен до первой половины XX века. Доступна рецензия Трусделла на издание 1959 года: Truesdell C. Rouse & Ince's History of Hydraulics (1959). In: An idiot's fugitive essays on science. Methods, criticism, training, circumstances. N.Y., Springer-Verlag, 1984, p. 212 – 217.

На стр. 117–129 этой книги проводится анализ трудов Коши, Навье, Пуассона, Сен-Венана и Стокса, посвященных выводу уравнений вязкой жидкости.

Известный механик и историк науки в своем очерке анализирует развитие понятий давления в жидкости и напряжения от Архимеда до Коши. Перевод на русский язык главы из книги: Truesdell C. Essays in the history of mechanics, 1968.

Интересный обзор работ Эйлера по теоретической механике, гидродинамике и теории упругости.

Обзор гидродинамических работ Д.Бернулли и Эйлера.

Обзор развития гидродинамики с XVIII до начала XX вв., включающий получение уравнений идеальной и вязкой жидкости, развитие теории волн и теории вихрей, описание турбулентности и открытие основных результатов теории сопротивления.

Обзор работ Эйлера и Буге по теории корабля и смежным вопросам. Из введения к работе: «The statement made by the French geometer Taquet in the 17th c., referring to Archimedes, the classical ancestor of ship theory, may also be applied to Leonhard Euler: "All praise him, few read him, all admire him, few understand him"».

Работа содержит обзор гидродинамических работ Бернулли, Д'Аламбера и Эйлера.

Исторический анализ обнаружения и объяснения парадокса Д'Аламбера — Эйлера.

Первые в истории человечества строгие математические результаты, касающиеся гидродинамики. Архимед не пользуется понятием внутреннего напряжения и получает «закон Архимеда» (предложение VI) и результаты по устойчивости плавающих тел фактически как следствие геометрических построений. Работа Архимеда комментируется в статье: Башмакова И.Г. Трактат Архимеда «О плавающих телах». В сб.: Историко-математические исследования, 1956, № 9, с. 759–788.

В заметках о течении рек Леонардо, видимо, впервые формулирует уравнение неразрывности (в гидравлическом приближении) в форме утверждений: «в реке постоянной глубины течение будет в менее широком месте во столько раз более быстрым, чем в более широком, во сколько раз большая ширина превосходит меньшую», «река пропускает при любой своей ширине в равное время равное количество воды, вне зависимости от ширины реки», «у вод, текущих по дну рек постоянного уклона, отношение между скоростями движения такое же, как и между их высотами» и проч.
   Эти утверждения, по-видимому, принадлежат самому Леонардо (комментаторы отмечают, что у Леонардо «некоторые наблюдения над движущейся водой точно локализованы», см. главу 5 в книге: Зубов В.П. Леонардо да Винчи. 1452—1519. М.: Наука, 2008; Рауз пишет, что «the continuity principle … was definitely his» и «when Leonardo discussed the matter of continuity, he did it with such originality and clarity that the principle itself might justifiably bear his name»), хотя оригинальность его других механических результатов подвергается сомнению со стороны ряда авторитетных историков науки (см., например: Duhem P. Études sur Léonard de Vinci. Ceux qu'il a lus et ceux qui l'ont lu, Sér. 1. 1906, Sér. 2. 1909, Les précurseurs parisiens de Galilée, Sér. 3. 1913; Трусделл К. Механика Леонардо да Винчи. В кн.: Очерки по истории механики, 2002 (1968); Михайлов Г.К. Механика в рукописях Леонардо да Винчи (критический взгляд на тему) // Успехи механики, т. 2, № 2, 2003). По всей вероятности, гидродинамические наблюдения Леонардо не повлияли на последующих исследователей: часть гидродинамических заметок Леонардо, относящихся к 1490-м гг., около 1643 г. была объединена в сборник «Трактат о движении и измерении воды» (Trattato del moto е della misura dell'acqua), опубликованный только в 1826 г.
   Обратим внимание, что со стандартной цитатой из Леонардо: «Механика — рай математических наук, посредством нее достигают математического плода» и другими его высказывними, которые «даются обычно в антологиях, вне контекста», по словам В.П.Зубова, «на самом деле вопрос сложнее, чем это кажется»: «когда Леонардо говорил о механике, он понимал под этим словом не теоретическую дисциплину, а практическое приложение теоретических положений», а «„математика“ охватывала у Леонардо не только чисто математические дисциплины, но и физику». «„Пусть не читает меня тот, кто не математик“,— было сказано,— пишет Зубов,— при описании механизма сердечных клапанов. „Тот, кто порочит высшую достоверность математики“,— было сказано опять в связи с рисунком сердца. „А потому, о изучающие, изучайте математику и не стройте без фундаментов“,— после длинного рассуждения о движениях при дыхании и пищеварении… „Все это я опишу и нарисую подробно, доказывая эти движения на основе моих математических начал“,— о движении мускулов рта».

В этом труде Симона Стевина впервые появляется принцип затвердевания, позволяющий применять для покоящейся сплошной среды обычные приемы статики твердого тела (см. определение VII и примечание 2 к русскому переводу).

В книге «Об измерении текущих вод», первое издание которой вышло в 1628 году, Кастелли формулирует гидравлическое уравнение неразрывности в форме утверждения о том, что для «двух неравных сечений, через которые протекают одинаковые количества воды за равные времена, сечения обратно пропорциональны скоростям» (prop. 3). Впоследствии книга несколько раз переиздавалась, была переведена на английский (Of the mensuration of running waters, 1661) и французский (Traicté de la mesure des eaux courantes, 1664). Во французском издании содержится также фрагмент трактата Торричелли, в котором приводится выражение для скорости истечения жидкости из сосуда — формула Торричелли в современной терминологии (последний абзац на стр. 64).

Русский перевод относящейся к 1651–1653 гг. работы «Traité de l'équilibre des liqueurs», которая отличается чрезвычайной ясностью и доступностью изложения.
   В литературе встречаются крайние оценки этого трактата, начиная с мнения Трусделла о том, что «работа Паскаля (1663), по-видимому, полностью вторична в том, что касается несжимаемых жидкостей», и кончая мнением о том, что Паскаль не был знаком с трудами Стевина из-за малораспространенности голландского языка. Истина лежит посредине. С одной стороны, работы Стевина были переведены на латинский и французский языки (см. комментарии к русскому переводу; французский перевод гидростатических работ Стевина, относящийся к 1634 году, доступен здесь), и сравнение текстов Стевина и Паскаля легко обнаруживает влияние первого на второго. С другой сторны, в этом трактате Паскаль, вероятно, впервые доказывает закон Архимеда прямым вычислением сил, действующих на кубическое тело (начало главы 5, фиг. XV), а не с помощью формального получения следствий из аксиом. В этой же работе Паскаль описывает принцип действия гидравлического пресса и формулирует гидростатический закон Паскаля.
   Отметим, что часто в учебной литературе «законом Паскаля» называют утверждение о независимости давления от ориентации площадки в данной точке. Самое это утверждение, безусловно, верно, но оно не является законом Паскаля (ошибочное толкование возникло в результате неверного понимания выражения «давление передаётся во все стороны» в чеканной формулировке, кочующей из учебника в учебник). Правильная формулировка, принадлежащая самому Паскалю, приводится на стр. 238 русского перевода.

В этом месте «Начал» Ньютон формулирует закон вязкого трения и рассматривает задачи о вращении цилиндрических и сферических тел в вязкой жидкости. Решения этих задач он использует в качестве аргументов против вихревой теории Декарта.

В этом трактате, в заглавии которого впервые появляется термин «гидродинамика», с помощью закона сохранения механической энергии выводится интеграл Бернулли для несжимаемой жидкости (часть 12, § 10; анализ этого вывода приводится в статье Г.К.Михайлова). Даниил Бернулли еще не использует понятия давления жидкости, и в современном виде этот интеграл будет получен его отцом Иоганном Бернулли (исторические комментариии приводятся в десятом разделе очерка К.Трусделла).

В комментированном переводе трактата Бенджамина Робинса Эйлер впервые (в общем виде) обнаруживает парадокс, названный впоследствии парадоксом Д'Аламбера — Эйлера (гл. 2, предл. 1, замеч. 3). Справедливости ради стоит отметить, что в частном случае обтекания тела, симметричного относительно поперечной плоскости, внутри канала обращение сопротивления в нуль было обнаружено Д'Аламбером в 1744 году в его «Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides» (art. 247; fig. 77).

В этой работе Д'Аламбер получает уравнение неразрывности для осесимметричного (art. 45, 48) и плоского (art. 73) течений несжимаемой жидкости, а также уравнение неразрывности для стационарного осесимметрического течения сжимаемой жидкости (art. 116). Способ получения Д'Аламбером условия отсутствия завихренности обсуждается в цитированной выше статье Darrigol O., Frisch U. «From Newton's mechanics to Euler's equations». В art. 58–60 Д'Аламбер впервые использует аппарат комплексных переменных для описания двумерных течений — la méthode fort ingénieuse, по словам Эйлера, и фактически доказывает аналитичность комплексной функции при выполнении условий Коши — Римана (art. 58). В этой же работе (art. 70, 100 et seq.) обсуждается возможность нулевого сопротивления при обтекании тел (парадокс Д'Аламбера — Эйлера). В отчетливом виде этот парадокс был сформулирован Д'Аламбером в 1768 году в его заметке «Paradoxe proposé aux Géomètres sur la résistance des fluides».

Английский перевод латинской работы Эйлера «Principia motus fluidorum», относящейся к 1752 году. В этом мемуаре Эйлер впервые получает (для идеальной несжимаемой жидкости) уравнения движения (уравнения Эйлера), интеграл Коши — Лагранжа и уравнение Лапласа для потенциала скорости. Краткое содержание работы и комментарии Трусделла к ней доступны здесь.

В этой работе, доложенной Берлинской академии в 1755 г., Эйлер дает вывод общего вида уравнения неразрывности, уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) и интеграла Коши — Лагранжа для сжимаемой жидкости. Нельзя не согласиться с мнением Г.К.Михайлова и Л.И.Седова, писавших, что «при чтении этого сочинения особенно поражают (свойственные и большинству других работ Эйлера) ясность и простота изложения мыслей. Трудно порой поверить, что его отделяет от нас уже свыше двух веков», и оценкой известного историка механики Рене Дюга: «So perfect is this paper that not a line has aged».
   Оригинальный французский текст (Euler L. Principes généraux du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres, Berlin, 1757. T. 11 (1755). P. 274–315 = Opera omnia, Ser. II. Vol. 12. P. 54–91) доступен здесь, комментарии Трусделла к этой работе можно прочитать здесь. Работа «Principes généraux de l'état d'équilibre des fluides», на которую ссылается Эйлер в первом параграфе своего мемуара, доступна здесь. В том же томе трудов Берлинской академии опубликована третья статья Эйлера «Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides», в которой он фактически получил интеграл Бернулли для сжимаемых жидкостей (§ 28), указал ряд известных точных решений, в частности типа источника и вихря, для плоских потенциальных течений несжимаемой жидкости (§ 74), а также доказал (§ 54) тождество (v ∙∇)v = grad(v²/2) + [rot v × v], используемое при записи уравнений Эйлера в форме Громеки — Лэмба. Отметим, что последнее название, принятое в отечественной литературе, исторически неточно, т.к. эта форма уравнений в явном виде приводится, например, еще Лагранжем в n° 14 его известной работы Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides (Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, 1781), содержащей среди прочего формулировку теоремы Лагранжа о сохранении потенциальности течения (nn° 17–19).

Мемуар, в котором чувствуется влияние революционной эпохи, содержит результаты экспериментов Кулона по определению сопротивления при медленных движениях жидкости с помощью крутильных весов. В работе (с современной точки зрения) подтвержден закон вязкого трения Ньютона при малых скоростях, показаны зависимость вязкости от температуры (art. 32) и независимость касательных напряжений от рода твердой стенки (art. 38), а также определено отношение вязкостей лампадного масла и воды (art. 51).

В этой заметке, относящейся к 1822 году, Коши анонсирует свой вывод общей теории напряжений и общих уравнений движения сплошной среды. Подробно эти результаты изложены, в частности, в работе «De la pression ou tension dans un corps solide» (1827), в которой он выводит условие симметрии тензора напряжений (формула 16) и формулу Коши для напряжения на произвольной площадке (формула 20), а также в работе «Sur les équations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur d'un corps solide, élastique ou non élastique» (1828), где выводятся общие уравнения движения (формула 25). В этой последней работе Коши рассматривает модель среды, в которой тензор напряжений является линейной комбинацией тензора скоростей деформаций и метрического тензора, умноженного на дивергенцию частной производной перемещения по времени (формулы 95, 97), и выводит уравнение движения для такой среды (формула 98). С современной точки зрения эта модель описывает малые деформации линейно-вязкой жидкости в том случае, когда можно пренебречь давлением.
   Термин «тензор» в смысле, близком к современному, будет введен Фохтом в конце XIX века (см. стр. 20 и 200 в книге: Voigt W. Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung, 1898). Оговорка про «современный смысл» существенна, ибо как анатомический термин (название мышцы) слово «тензор» используется с начала XVIII века (например, в английском языке «tensor» зафиксировано еще в 1704 году), а в Гамильтоновой теории кватернионов термин «тензор» используется с середины XIX века.

В этой работе, относящейся к 1822 году, Навье впервые получает уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье — Стокса) и рассматривает общий вид условий на границе с твердым телом (с учетом проскальзывания). В этом же мемуаре он рассматривает задачи о течении жидкости в каналах прямоугольного и кругового сечения, а также течение со свободной поверхностью в наклонном канале.

В этой работе Пуассон получает закон Навье — Стокса для сжимаемой жидкости (n° 63, формула 7) и выводит уравнение Навье — Стокса для сжимаемой жидкости (n° 64, формула 9). Приведенные формулы отличаются от принятых сегодня только дополнительным слагаемым с полной производной от давления.

В этой работе Хаген устанавливает закон, получивший впоследствии название «закон Хагена — Пуазейля», на основе экспериментов с течением воды в тонких трубках. Для зависимости расхода от радиуса он получает степенну́ю зависимость с показателем 4,12 и предлагает округленное значение 4 (последний абзац на стр. 437). Независимо от Хагена этот закон установил Пуазейль, который также проводил опыты с водой (хотя побудительным мотивом было изучение течения крови в сосудах человека и животных, см.: Brillouin M., Jean Léonard Marie Poiseuille // Journal of rheology, 1930, Vol. 1, Issue 4). Первые публикации Пуазейля относятся к 1840 (C.R., T. 11) и 1841 (C.R., T. 12) годам, хотя еще в 1839 г. Пуазейль, придававший, по-видимому, большое значение приоритетным вопросам, оставил во Французской академии запечатанный пакет с результатами своих экспериментов (см.: Sutera S.P., Skalak R. The history of Poiseuille's law // Annual review of fluid mechanics, 1993, V. 25). Статья Хагена осталась незамеченной среди физиков, хотя в этом же томе «Анналов» помещены статьи Фарадея, Бабине, Допплера, Реньо, Араго и др., причем последний входил в комиссию, представлявшую публикацию Пуазейля. Кроме упомянутой статьи, обзор работ Хагена и Пуазейля можно найти в книге: Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика, Т. 2, Гостехтеориздат, 1935 и статье: Воларович М.П. Работы Пуазейля о течении жидкости в трубах (К столетию со времени опубликования) // Известия Академии наук СССР. Серия физическая. 1947, Т. 11, № 1. Эксперименты Хагена и Пуазейля стали первым надежным подтверждением справедливости условия прилипания и закона Навье — Стокса.

В этой заметке Сен-Венан показывает, что закон Навье — Стокса может быть получен на основе предположений общего характера о структуре связи между компонентами тензора напряжений и скоростями сдвигов и относительных удлинений без рассмотрения молекулярной структуры вещества.

В этой статье Стокс, в частности, выводит уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости и рассматривает общий вид граничных условий с учетом проскальзывания. В работе рассматривается случай нулевого коэффициента второй (объемной) вязкости, что эквивалентно требованию равенства давления нормальным напряжениям при всестороннем сжатии (см. стр. 87 в первом томе собрания сочинений). Анализ и историческую оценку этой работы можно найти на стр. 123–129 книги И.Б.Погребысского.

В этой статье Рэнкин впервые получает полную систему соотношений, вытекающую из законов сохранения, для ударной волны в совершенном газе. Независимо от него аналогичную полную систему условий на прямом скачке получил Югоньо (Гюгонио) около 1885 года (посмертная статья «Sur la propagation du mouvement dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits» опубликована в «Journal de l'École Polytechnique» в 1887 и 1889 годах).
   История открытия этих соотношений очень драматична. Тенденция к опрокидыванию волн в невязком газе и принципиальная возможность образования сильных разрывов ранее явным образом отмечались Стоксом (On a difficulty in the theory of sound // Philosophical Magazine, Series 3, Vol. 33, 1848; переиздано в сборнике классических работ: Johnson J.N., Chéret R. Classic papaers in shock compression science, 1998) и Ирншоу (Earnshaw S. On the Mathematical Theory of Sound // Proceedings of the Royal Society of London, III, 1858), однако они по разным причинам посчитали, что такие разрывы физически не реализуются (см. статью Г.Г.Чёрного К истории развития представления о разрывных движениях газов и жидкостей // АМГД, 2003, № 2 и параграф «История вопроса об ударной волне» в книге Я.Б.Зельдовича «Теория ударных волн и введение в газодинамику»). В 1860 году Риман (знавший, в частности, о результатах Стокса, которые касались возникновения градиентной катастрофы) в статье «О распространении плоских волн конечной амплитуды» впервые рассмотрел задачи о движении ударных волн (и, в частности, задачу о распаде разрыва), однако он ошибочно предполагал, что связь давления и плотности по обе стороны от разрыва задается одним и тем же уравнением, поэтому его результаты, строго говоря, оказались ошибочными.
   Экспериментально существование ударных волн было подтверждено Э.Махом с соавторами около 1878 года (см., например, рис. 8 в статье: Reichenbach H. Contributions of Ernst Mach to fluid mechanics // Ann. Rev. Fluid Mech., 15, 1983; обратите внимание на комментарий к рис. 4.12–A на стр. 954 в книге: Krehl P.O.K. History of shock waves, explosions and impact. A chronological and biographical reference, 2009).
   Отметим, что условия Рэнкина — Гюгонио не были первой полной (нетривиальной) системой условий на поверхности разрыва в истории гидродинамики. Для прямого гидравлического прыжка — разрывного решения одномерной системы уравнений мелкой воды — правильная система соотношений, выражающая баланс потоков массы и испульса, была получена Ж.-Б.Беланже ещё в 1841 году (см. обзорную статью: Chanson H. Jean-Baptiste Charles Joseph Bélanger (1790-1874), the Backwater Equation and the Bélanger Equation // Hydraulic Model Report No. CH69/08, Div. of Civil Engineering, The University of Queensland, Brisbane, Australia, 2008).

Русский перевод статьи «On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion», в которой Рейнольдс получает уравнения для осредненных величин в турбулентном потоке (уравнения Рейнольдса).

В этой работе Прандтль впервые формулирует ясное представление о пограничном слое и приводит уравнения для его описания. Факси́мильное издание немецкого текста доступно здесь, английский перевод (NACA technical memorandum No. 452) доступен здесь. В историческом обзоре Джакомелли и Пистолези отмечается, что «известный в настоящее время термин „пограничный слой“ (Grenzschicht) применялся Прандтлем только раз в его первой статье, так как он применял обычно термин „передаточный слой“ (Übergangsschicht)», а термин «пограничный слой» получил общее применение только после статьи Блазиуса «Пограничные слои в жидкостях малого трения» (1908). Сам Прандтль писал, что первой работой о пограничном слое была работа копенгагенского физика Л.Лоренца (Lorenz L. Ueber das Leitungsvermögen der Metalle für Wärme und Electricität // Annalen der Physik, 1881, 249(8), S. 582–606) по тепловой конвекции.

В этой работе Колмогоров впервые предложил замкнутую дифференциальную модель турбулентности, содержащую уравнения для кинетической энергии пульсаций (k в традиционных обозначениях) и типичной частоты ω. Независимо от Колмогорова близкая дифференциальная модель была предложена Прандтлем (Prandtl L. Über ein neues Formelsystem für die ausgebildete Turbulenz // Nachr. Ges. Wiss. Göttingen. Math.-Phys. Kl., 1945, S. 6–19; переиздано во втором томе собрания сочинений: Gesammelte Abhandlungen. Berlin, Springer, 1961, Tl. 2, S. 874–887; доступен также первый том, содержащий работы по теории пластичности и теории крыла конечного размаха).
   Принципиальная идея построения цепочки уравнений для моментов ранее была предложена Фридманом и Келлером («цепочка уравнений Фридмана — Келлера») в 1924 году (Keller L. und Friedmann A. Differentialgleichungen für die turbulente Bewegung einer kompressiblen Flüssigkeit // Proceedings of the First International Congress on Applied Mechanics, Delft, 1924, S. 395–405; имеется русский перевод: Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости. В кн.: Фридман А.А. Избранные труды. Под ред. проф. Л.С.Полака. М., Наука, 1966, с. 45–57, коммент. на с. 448–450). С биографией Л.В.Келлера можно познакомиться в публикации: Лев Васильевич Келлер (1863 — 1939). (Некролог). В кн.: Кочин Н.Е. Собрание сочинений. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1949. Т. 1, с. 610–613.

На главную страницу