Некоторые обзорные работы и первоисточники по истории пи-теоремы и теории подобия
Некоторые обзорные работы и первоисточники по истории пи-теоремы и теории подобия

Обзорные публикации

  • Görtler H. Zur Geschichte des Π-Theorems // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, 1975, Bd. 55, H. 1, S. 3–8 (djvu-файл)
  • «Классическая» обзорная статья, которую часто цитируют. О существовании работы Федермана Гёртлеру сообщил Л.Г.Лойцянский, о чем последний упоминает в своих воспоминаниях.

  • Macagno E.O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute, 1971, Vol. 292, Issue 6, P. 391–402 (djvu-файл)
  • В обзоре, в частности, приводятся цитаты из статьи Ваши (Vaschy A. Sur les lois de similitude en physique // Annales Télégraphiques, 1892, Vol. 19, P. 25–28), в которой последний впервые сформулировал пи-теорему в общем виде. Некоторые замечания и дополнения к этому обзору содержатся в статье: Roberto de A. Martins, The origin of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute, 1981, Vol. 311, Issue 5, P. 331–337.

  • Кирпичёв М. В. Роль советских ученых в развитии учения о подобии // Известия Академии наук СССР. Отделение технических наук, 1952, № 11, с. 1711–1716 (djvu-файл)
  • Статья носит характерный отпечаток послевоенной эпохи, но интересна по содержанию (в ней, в частности, до статьи Гёртлера дается ссылка на публикацию Федермана). С цитируемой статьей о книге Онисима Михайлова можно познакомиться здесь. То, что в тексте статьи понимается под первой, второй и третьей «теоремами подобия», можно понять из статьи: Кирпичёв М.В. Теория подобия как основа эксперимента // Известия Академии наук СССР. Отделение технических наук, 1945, № 4–5, с. 333–338 или из книг: Кирпичёв М.В. Теория подобия. М.: Изд-во АН СССР, 1953, Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949 (предупредим читателя о том, что работы М.В.Кирпичёва и П.К.Конакова подвергались критике в научной печати за «ошибки принципиального характера»). По поводу руководства Н.Е.Жуковским Кучинским аэродинамическим институтом см. брошюру: Рябушинский Д. Аэродинамический институт в Кучине. 1904–1914.

  • Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие. М.: ИЛ, 1963 (djvu-файл)
  • В четвертой главе приводятся, кроме всего прочего, ссылки на первоисточники по моделированию и анализу размерностей.

  • Кирпичёв В. Л. Беседы о механике. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu-файл)
  • В седьмой беседе этой превосходной книги, которую можно рекомендовать всем механикам, излагается ряд классических результатов о подобии в механических задачах.

    Первоисточники

  • Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, 1638 (день второй) (djvu-файл)
  • В этом разделе своей книги Галилей излагает ряд результатов, касающихся прочности подобных тел. Обсуждение можно найти в «Комментариях» в конце русского перевода, а также в посвященном Галилею разделе книги: Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений. М.: ГИТТЛ, 1957 (с. 16–25).

  • Ньютон И. Математические начала натуральной философии, 1687 (кн. II, отд. 7, предл. 32, 33) (djvu-файл)
  • В этом месте «Начал» Ньютон приводит теорему о подобии двух механических систем, а также пытается обосновать, говоря современным языком, вид зависимости силы сопротивления, действующей на тело со стороны потока жидкости, от скорости, плотности и размеров тела при больших числах Рейнольдса (когда силы инерции доминируют). Современное доказательство теоремы приведено в статье: Bertrand J. Note sur la similitude en méchanique // Journal de l'École polytechnique, 1848, Cahier 32 (T. 19), P. 189–197, а также в упомянутых выше «Беседах о механике» В.Л.Кирпичёва.

  • Fourier J. Théorie analytique de la chaleur. Paris, 1822 (chap. 2, sect. 9, art. 175–162) (djvu-файл)
  • В своей знаменитой работе Фурье впервые в явном виде вводит понятие размерности физической величины как закона, по которому меняется ее численное значение при изменении масштаба единиц.

  • Stokes G. On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums // Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1851, Vol. 9, P. 8–106 (djvu-файл)
  • В этой работе Стокс получает условия подобия двух течений несжимаемой вязкой жидкости — соблюдение геометрического подобия и равенство, в современной терминологии, чисел Рейнольдса [формула (6)]. Отметим, что здесь же выводится носящая его имя формула для сопротивления сферы при малых числах Рейнольдса [формула (126)] и впервые доказывается теорема живых сил для произвольной сплошной среды [формула (136)].

  • Maxwell J. C. A treatise on electricity and magnetism, 1873 (art. 1–6) (djvu-файл)
  • Во вводном разделе трактата по электричеству и магнетизму для размерности физической величины Максвелл, по-видимому, впервые вводит обозначение, используемое (хотя и несколько по-другому) и по сей день,— квадратные скобки.

  • Bertrand J. Sur l'homogénété dans les formules de physique // Comptes rendus, 1878, T. 86, № 15, P. 916–920 (djvu-файл)
  • Статья Бертрана, которого по справедливости и следует считать настоящим «автором пи-теоремы», содержит в отчетливом виде (на примере задач из электродинамики и теории теплопроводности) все основные идеи современного доказательства пи-теоремы, а также ясное указание на применение пи-теоремы для моделирования физических явлений при соблюдении критериев подобия.

  • Жуковский Н.Е. Об изменении единиц мер в формулах, выражающих механические величины [около 1890 г.] // Полное собрание сочинений. Лекции. Вып. 3. Теоретическая механика: Курс высшего технического училища / Под ред. В.П.Ветчинкина. М.-Л.: НКАП СССР. Гос. изд-во обор. пром., 1939 (djvu-файл)
  • В этой методической заметке Жуковский делает попытку доказать размерную однородность слагаемых в произвольном соотношении между физическими величинами.

  • Rayleigh, On the question of the stability of the flow of liquids // Philosophical magazine, 1892, Vol. 34, P. 59–70 (djvu-файл)
  • В этой статье Рэлей фактически применяет пи-теорему («the method of dimensions» в его терминологии) к зависимости падения давления в трубопроводе от определяющих параметров. В последующих работах (например, On the pressure of gases and the equation of virial // Phil. mag., 1905, Vol. 9, P. 494–505 и The principle of similitude // Nature, 1915, Vol. 95, P. 66–68) он рассматривает случаи, когда после применения пи-теоремы у безразмерной функции получается более одного аргумента. Отметим, что в знаменитой «Теории звука» все примеры применения пи-теоремы в общем случае (во втором томе русского перевода — это стр. 348, где приводится эвристическое доказательство пи-теоремы, а также стр. 397 и 400) появились только во втором издании 1894 года, тогда как в первом издании (1877) рассматриваются лишь частные случаи, в которых произвольной функции не возникает.

  • Jeans J. H. On the laws of radiation // Proceedings of the Royal Society of London, Ser. A, 1905, Vol. 76, P. 545–552 (pdf-файл)
  • Пи-теорема используется в статье Джинса как очевидное утверждение для анализа переноса энергии с излучением.

  • Морозов Н. Основы качественного физико-математического анализа и новые физические факторы, обнаруживаемые им в различных явлениях природы. М., 1908 (онлайн-просмотр документа на сайте ГПНТБ)
  • В этой монографии революционер-народник рассматривает зависимости в виде степенны́х одночленов, вид которых находится из анализа размерностей (частный случай пи-теоремы). Не умаляя заслуг Морозова, следует отметить, что в позднюю сталинскую эпоху некоторые комментаторы (см.: Рожков М., Н.А.Морозов — основоположник анализа размерностей // УФН, 1953, т. 49, вып. 1, стр. 180-181) ошибочно приписывали Морозову «приоритет в разработке метода анализа размерности».

  • Riabouchinsky D. Méthode des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique // L'Aérophile, 1911, 19me année, p. 407–408 (djvu-файл)
  • В этой статье Рябушинский дает формулировку пи-теоремы в общем виде и приводит примеры ее применения (в случае зависимости тяги и потребной мощности винта от числа Струхала). Здесь же он отмечает, что ему, по-видимому, принадлежит первое построение графика функциональной зависимости в безразмерных координатах. Позже об этом результате он пишет в брошюре: Рябушинский Д. Аэродинамический институт в Кучине. 1904–1914, посвященной десятилетней деятельности Института, где упоминается «графический метод, в котором по осям координат непосредственно отлагаются отношения нулевого размера» (т.е. безразмерные величины). Рябушинский отмечает, что задача об экспериментальном моделировании движения тела в газе с принципиальной точки зрения решена: «аэродинамический подсчет летательной машины любых размеров производится теперь легко» и «всё главное, что необходимо было изучить для этого вопроса [воздухоплавания], уже почти изучено». О том, что имеет в виду Рябушинский в своих «нестандартных» рассуждениях про обращение функции модуля, можно прочитать в его позднейших публикациях в «Comptes rendus».

  • Федерман А. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка // Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики. 1911, т. 16, вып. 1, с. 97–155 (djvu-файл)
  • Приводятся доказательство пи-теоремы в общем виде и примеры ее применения. В этой работе «уже есть всё, кроме названия Π-теорема» (В.А.Зорич).

  • Buckingham E. On physically similar systems: illustrations of the use of dimensional equations // Physical Review, 1914, Vol. 4, No. 4, P. 345–376 (djvu-файл)
  • Приводятся доказательство пи-теоремы и примеры ее применения. Для обозначения безразмерных комбинаций в статье, по-видимому, впервые используется прописная греческая буква Π — обозначение, ставшее впоследствии общепринятым и давшее название пи-теореме. Позднее (см. цитату на стр. 399–400 в обзорной статье: Macagno E.O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute, 1971, Vol. 292, Issue 6, P. 391–402) Бакингем признавал, что к идее доказательства он пришел под влиянием резюме публикации Рябушинского в журнале «L'Aérophile».


    На главную страницу