Обзорные публикации
«Классическая» обзорная статья, которую часто цитируют. О существовании работы Федермана Гёртлеру сообщил Л.Г.Лойцянский, о чем последний упоминает в своих воспоминаниях.
В обзоре, в частности, приводятся цитаты из статьи Ваши. Некоторые замечания и дополнения к этому обзору содержатся в статье: Roberto de A. Martins, The origin of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute, 1981, Vol. 311, Issue 5, P. 331–337.
Статья носит характерный отпечаток послевоенной эпохи, но интересна по содержанию (в ней, в частности, до статьи Гёртлера дается ссылка на публикацию Федермана). С цитируемой статьей о книге Онисима Михайлова можно познакомиться здесь. То, что в тексте статьи понимается под первой, второй и третьей «теоремами подобия», можно понять из статьи: Кирпичёв М.В. Теория подобия как основа эксперимента // Известия Академии наук СССР. Отделение технических наук, 1945, № 4–5, с. 333–338 или из книг: Кирпичёв М.В. Теория подобия. М.: Изд-во АН СССР, 1953, Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949 (предупредим читателя о том, что работы М.В.Кирпичёва и П.К.Конакова подвергались критике в научной печати за «ошибки принципиального характера»). По поводу руководства Н.Е.Жуковским Кучинским аэродинамическим институтом см. брошюру: Рябушинский Д. Аэродинамический институт в Кучине. 1904–1914.
В четвертой главе приводятся, кроме всего прочего, ссылки на первоисточники по моделированию и анализу размерностей.
В седьмой беседе этой превосходной книги, которую можно рекомендовать всем механикам, излагается ряд классических результатов о подобии в механических задачах.
Первоисточники
В этом разделе своей книги Галилей излагает ряд результатов, касающихся прочности подобных тел. Обсуждение можно найти в «Комментариях» в конце русского перевода, а также в посвященном Галилею разделе книги: Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений. М.: ГИТТЛ, 1957 (с. 16–25).
В этом месте «Начал» Ньютон приводит теорему о подобии двух механических систем, а также пытается обосновать, говоря современным языком, вид зависимости силы сопротивления, действующей на тело со стороны потока жидкости, от скорости, плотности и размеров тела при больших числах Рейнольдса (когда силы инерции доминируют). Современное доказательство теоремы приведено в статье: Bertrand J. Note sur la similitude en méchanique // Journal de l'École polytechnique, 1848, Cahier 32 (T. 19), P. 189–197, а также в упомянутых выше «Беседах о механике» В.Л.Кирпичёва.
Английский перевод трактата Эйлера, в котором он дает определение математической (фактически — физической) величины, единицы физической величины и способа определения ее численного значения (в частности, Эйлер указвает на полную аналогию пересчета физических величин и денежных сумм). Оригинальный немецкий текст доступен здесь, русский перевод соответствующего фрагмента (часть 1, раздел 1, глава 1) приводится на странице 8 в книге: Камке Д., Кремер К. Физические основы единиц измерения. М.: Мир, 1980. «К данным Эйлером определениям,— пишут Камке и Кремер,— ... нам и сегодня нечего добавить, кроме того, что нам теперь известно намного больше физических величин, чем во времена Эйлера».
В своей знаменитой работе Фурье впервые в явном виде вводит понятие размерности физической величины как закона, по которому меняется ее численное значение при изменении масштаба единиц.
В этой работе Стокс получает условия подобия двух течений несжимаемой вязкой жидкости — соблюдение геометрического подобия и равенство, в современной терминологии, чисел Рейнольдса [формула (6)]. Отметим, что здесь же выводится носящая его имя формула для сопротивления сферы при малых числах Рейнольдса [формула (126)] и впервые доказывается теорема живых сил для произвольной сплошной среды [формула (136)].
Во вводном разделе трактата по электричеству и магнетизму для размерности физической величины Максвелл, по-видимому, впервые вводит обозначение, используемое (хотя и несколько по-другому) и по сей день,— квадратные скобки.
Статья Бертрана, которого по справедливости и следует считать настоящим «автором пи-теоремы», содержит в отчетливом виде (на примере задач из электродинамики и теории теплопроводности) все основные идеи современного доказательства пи-теоремы, а также ясное указание на применение пи-теоремы для моделирования физических явлений при соблюдении критериев подобия.
В этой методической заметке Жуковский делает попытку доказать размерную однородность слагаемых в произвольном соотношении между физическими величинами.
В этой статье Ваши́ впервые сформулировал и доказал пи-теорему в общем виде.
В этой статье Рэлей фактически применяет пи-теорему («the method of dimensions» в его терминологии) к зависимости падения давления в трубопроводе от определяющих параметров. В последующих работах (например, On the pressure of gases and the equation of virial // Phil. mag., 1905, Vol. 9, P. 494–505 и The principle of similitude // Nature, 1915, Vol. 95, P. 66–68) он рассматривает случаи, когда после применения пи-теоремы у безразмерной функции получается более одного аргумента. Отметим, что в знаменитой «Теории звука» все примеры применения пи-теоремы в общем случае (во втором томе русского перевода — это стр. 348, где приводится эвристическое доказательство пи-теоремы, а также стр. 397 и 400) появились только во втором издании 1894 года, тогда как в первом издании (1877) рассматриваются лишь частные случаи, в которых произвольной функции не возникает.
Пи-теорема используется в статье Джинса как очевидное утверждение для анализа переноса энергии с излучением.
В этой монографии революционер-народник рассматривает зависимости в виде степенны́х одночленов, вид которых находится из анализа размерностей (частный случай пи-теоремы). Не умаляя заслуг Морозова, следует отметить, что в позднюю сталинскую эпоху некоторые комментаторы (см.: Рожков М., Н.А.Морозов — основоположник анализа размерностей // УФН, 1953, т. 49, вып. 1, стр. 180-181) ошибочно приписывали Морозову «приоритет в разработке метода анализа размерности».
В этой статье Рябушинский дает формулировку пи-теоремы в общем виде и приводит примеры ее применения (в случае зависимости тяги и потребной мощности винта от числа Струхала). Здесь же он отмечает, что ему, по-видимому, принадлежит первое построение графика функциональной зависимости в безразмерных координатах. Позже об этом результате он пишет в брошюре: Рябушинский Д. Аэродинамический институт в Кучине. 1904–1914, посвященной десятилетней деятельности Института, где упоминается «графический метод, в котором по осям координат непосредственно отлагаются отношения нулевого размера» (т.е. безразмерные величины). Рябушинский отмечает, что задача об экспериментальном моделировании движения тела в газе с принципиальной точки зрения решена: «аэродинамический подсчет летательной машины любых размеров производится теперь легко» и «всё главное, что необходимо было изучить для этого вопроса [воздухоплавания], уже почти изучено». О том, что имеет в виду Рябушинский в своих «нестандартных» рассуждениях про обращение функции модуля, можно прочитать в его позднейших публикациях в «Comptes rendus».
Приводятся доказательство пи-теоремы в общем виде и примеры ее применения. В этой работе «уже есть всё, кроме названия Π-теорема» (В.А.Зорич).
Приводятся доказательство пи-теоремы и примеры ее применения. Для обозначения безразмерных комбинаций в статье, по-видимому, впервые используется прописная греческая буква Π — обозначение, ставшее впоследствии общепринятым и давшее название пи-теореме. Позднее (см. цитату на стр. 399–400 в обзорной статье: Macagno E.O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute, 1971, Vol. 292, Issue 6, P. 391–402) Бакингем признавал, что к идее доказательства он пришел под влиянием резюме публикации Рябушинского в журнале «L'Aérophile».